.ipynb .pdf

Binder

Contents

Домашнее задание №2

В общем итоге необходимо реализовать 10 функций:

• Матрица Вандермонда;

• Максимальный остаток;

• Обработка данных (5 функции):

  1. Чистка данных;

  2. Вычисление mean и std;

  3. Нормализация;

  4. Масштабирование;

  5. Нормирование;

• Заполнение матрицы (3 функции):

  1. Крест;

  2. Квадрат;

  3. Шахматная доска

Warning

Ни одна из этих функций не должна содержать в себе циклов.

Матрица Вандермонда

Для заданного набора чисел \(x = \{x_i, i=1,..,n\}\) определитель Вандермонда — определитель следующей матрицы.

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}. \end{split}\]

Метод np.vander принимает на вход массив x и возвращает матрицу Вандермонда, но в зеркальном отражении относительно вертикальной оси.

Реализовать функцию vander, принимающую на вход набор чисел x в виде массива ndarray и возвращающую матрицу Вандермонда для этого набора чисел именно в таком виде, в каком она представлена выше.

def vander(x):
    ...

Warning

Ваша функция не должна содержать вызовов функции np.vander.

Максимальный остаток

Рассмотрим набор целых чисел \(x = \{x_i \in \mathbb{N}, i=1,..,n\}\). Пусть \(mod_{ij}\) — остаток от деления \(x_i\) на \(x_j\). Найти максимальный такой остаток.

def largest_mod(x):
    ...

Обработка данных

Представим себе эксперимент, в котором измеряется \(m\) величин \(x_i\) в моменты времени \(t_i, i=1,...,n\). Будем считать, что все измерения поступают нам в виде матрицы X (двумерный массив ndarray) размера \(n \times m\), \(j\)-й столбец которой соответствует измеряемой величине \(x_j\), а \(i\)-я строка — моменту времени \(t_i\), т.е. X[i, j] — измерение величины \(x_j\) в момент времени \(t_i\).

1. Чистка данных

Допустим, что если измерение \(X_{ij}\) (измерение \(x_j\) при \(t=t_i\)) не удалось произвести, то в массив попадает значение X[i, j] = np.nan. Ваша задача реализовать процедуру чистки таблицы X от всех строк, в которых есть хотя бы один np.nan.

def clear(X):
    ...
    
    
X = np.array([[0, 1, 2], [1, np.nan, 2], [np.nan, np.nan, np.nan], [-1, -2, -3]])
print(clear(X)) # [[0, 1, 2], [-1, -2, -3]]

Tip

Вам могут помочь функции np.isnan, np.any и np.all.

2. Нормализация

В статистике рассматриваются характеристики таких числовых рядов. Например, среднее величина, среднеквадратичное отклонение, минимальное и максимальное значения, и многие другие.

В ряде задач удобнее анализировать такие данные, если они находятся в удобном диапазоне. Рассмотрим три подхода, чтобы преобразовать эти данные в удобный диапазон на примере измерений одной величины \(x\) в моменты времени \(t_i\).

• Рассмотрим новый ряд \(y = \{y_i, i=1,...,n\}\), который получается их набора \(x\) по формуле

\[ y_i = \frac{x_i - \bar{x}}{S}. \]

Здесь \(\bar{x}\) — среднее значение чисел \(x\), а \(S\) — среднеквадратичное отклонение, которые определяются формулами

\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i, \]

\[ S = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}. \]

Среднее значение получившегося ряда чисел \(y\) заведомо равно 0, а среднеквадратичное отклонение — единице.

• Отмасштабируем данные в отрезок \([0, 1]\). Для этого найдем минимальное и максимальное значения \(x_{min}\) и \(x_{max}\) в \(x\) и применим следующее преобразование:

\[ y_i = \frac{x_i - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}. \]

• Представим измерения \(x=\{x_i, i=1,...,n\}\) в виде вектора и отнормируем его:

\[ y = \frac{x}{||x||}. \]

Ваша задача реализовать нормализацию данных тремя этими способами сразу для таблицы таких измерений X.

2.1. Векторная реализации нормализации каждой строки двумерного массива

2.1.1. Вычисление mean и std

a) Напишите функцию, которая принимает на вход матрицу и возвращает два массива:

• mean — массив средних значений каждого столбца (mean[j] — среднее столбца исходного массива X[:, j]).

• std — массив среднеквадратичных отклонений каждого столбца (std[j] — среднеквадратичное отклонение строки исходного массива X[:, j]).

def mean_and_std(X):
    n, m = X.shape
    # здесь ваш код
    return mean, std

Tip

Обратите внимание на аргумент axis функции np.sum.

Warning

Ваша функция не должна содержать вызовов функций np.mean и np.std.

2.1.2. Нормализация

Дополнить предыдущий пример, реализовав функцию process, которая принимает на вход массив X и возвращает массив Y, у которого столбец Y[:, j] представляет из себя нормализацию столбца X[:, j].

def process(X):
    ...

Warning

Ваша функция может содержать вызов функции stat2d или вызывать библиотечные функции np.mean и np.std.

2.2. Векторная реализация масштабирования каждой строки двумерного массива

Реализуйте функцию scale, которая принимает на вход массив X и возвращает массив Y, такой, что каждый его столбец Y[:, j] представляет отмасштабированный столбец X[:, j] в отрезок \([0, 1]\).

def scale(X):
    ...

Warning

Разрешается использовать функции np.min и np.max.

2.3 Векторная реализация нормирования

Реализуйте функции normalize, нормирующую все столбцы матрицы.

def normalize(X):
    ...

Заполнение матриц

Крест

Реализовать функцию, которая создать матрицу заданного размера \(n\), элементы которой определяются следующим образом

\[\begin{split} \begin{cases} a_{ij} = 1, \quad m < i \leq n - m \text{ или } m < j \leq n - m \\ a_{ij} = 0, \quad \text{ иначе}. \end{cases} \end{split}\]

Размер матрицы определяется параметром n, размер нулевых квадратов по углам параметром m. При n=6 и m=2 матрица должна выглядеть следующим образом.

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation} \end{split}\]

def cross(n, m):
    ...

Note

Для удобства можно считать, что m < n и оба они четны.

Квадрат

Реализовать функцию, которая создаёт матрицу заданного размера \(n\), элементы которой определяются следующим образом

\[\begin{split} \begin{cases} a_{ij} = 1, \quad m < i \leq n - m \text{ и } m < j \leq n - m \\ a_{ij} = 0, \quad \text{ иначе} \end{cases} \end{split}\]

Размер матрицы определяется параметром n, размер маленького квадрата из единицы параметром m. При n=6 и m=2 матрица должна выглядеть следующим образом.

\[\begin{split} \begin{equation} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}. \end{equation} \end{split}\]

def square(n, m):
    ...

Note

Для удобства можно считать, что m < n и оба они четны.

Шахматная доска

Реализовать функцию, которая создаёт матрицу заданного размера n, содержащую единицы и нули, расположенные в шахматном порядке.

\[\begin{split}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & 0 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

def chess_board(n):
    ...

Note

Для удобства можно считать, что n четно.

previous

Векторизация на примере вычисления статистик

next

Словари (dict)