{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Домашнее задание №2\n",
    "\n",
    "В общем итоге необходимо реализовать 10 функций:\n",
    "- Матрица Вандермонда;\n",
    "- Максимальный остаток;\n",
    "- Обработка данных (5 функции):\n",
    "    1. Чистка данных;\n",
    "    2. Вычисление mean и std;\n",
    "    3. Нормализация;\n",
    "    4. Масштабирование;\n",
    "    5. Нормирование;\n",
    "- Заполнение матрицы (3 функции):\n",
    "    1. Крест;\n",
    "    2. Квадрат;\n",
    "    3. Шахматная доска\n",
    "\n",
    "```{warning}\n",
    "Ни одна из этих функций не должна содержать в себе циклов.\n",
    "```\n",
    "\n",
    "## Матрица Вандермонда\n",
    "\n",
    "Для заданного набора чисел  $x = \\{x_i, i=1,..,n\\}$ [определитель Вандермонда](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%92%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%BD%D0%B4%D0%B0) --- определитель следующей матрицы.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{pmatrix}\n",
    "1 & x_1 & \\cdots & x_1^{n-1} \\\\\n",
    "1 & x_2 & \\cdots & x_2^{n-1} \\\\\n",
    "\\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\\n",
    "1 & x_n & \\cdots & x_n^{n-1}\n",
    "\\end{pmatrix}. \n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Метод [np.vander](https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.vander.html?highlight=vander#numpy.vander) принимает на вход массив `x` и возвращает матрицу Вандермонда, но в зеркальном отражении относительно вертикальной оси.\n",
    "\n",
    "Реализовать функцию `vander`, принимающую на вход набор чисел `x` в виде массива `ndarray` и возвращающую матрицу Вандермонда для этого набора чисел именно в таком виде, в каком она представлена выше. \n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def vander(x):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "```{warning}\n",
    "Ваша функция не должна содержать вызовов функции `np.vander`.\n",
    "```\n",
    "\n",
    "## Максимальный остаток\n",
    "\n",
    "Рассмотрим набор целых чисел $x = \\{x_i \\in \\mathbb{N}, i=1,..,n\\}$. Пусть $mod_{ij}$ --- остаток от деления $x_i$ на $x_j$. Найти максимальный такой остаток.\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def largest_mod(x):\n",
    "    ...\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Обработка данных\n",
    "\n",
    "Представим себе эксперимент, в котором измеряется $m$ величин $x_i$ в моменты времени $t_i, i=1,...,n$. Будем считать, что все измерения поступают нам в виде матрицы `X` (двумерный массив `ndarray`) размера $n \\times m$, $j$-й столбец которой соответствует измеряемой величине $x_j$, а $i$-я строка --- моменту времени $t_i$, т.е. `X[i, j]` --- измерение величины $x_j$ в момент времени $t_i$.\n",
    "\n",
    "### 1. Чистка данных\n",
    "\n",
    "Допустим, что если измерение $X_{ij}$ (измерение $x_j$ при $t=t_i$) не удалось произвести, то в массив попадает значение `X[i, j] = np.nan`. Ваша задача реализовать процедуру чистки таблицы `X` от всех строк, в которых есть хотя бы один `np.nan`.\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def clear(X):\n",
    "    ...\n",
    "    \n",
    "    \n",
    "X = np.array([[0, 1, 2], [1, np.nan, 2], [np.nan, np.nan, np.nan], [-1, -2, -3]])\n",
    "print(clear(X)) # [[0, 1, 2], [-1, -2, -3]]\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{tip}\n",
    "Вам могут помочь функции [np.isnan](https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.isnan.html), [np.any](https://numpy.org/devdocs/reference/generated/numpy.any.html) и [np.all](https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.all.html). \n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "### 2. Нормализация\n",
    "\n",
    "В статистике рассматриваются характеристики таких числовых рядов. Например, среднее величина, среднеквадратичное отклонение, минимальное и максимальное значения, и многие другие.\n",
    "\n",
    "В ряде задач удобнее анализировать такие данные, если они находятся в удобном диапазоне. Рассмотрим три подхода, чтобы преобразовать эти данные в удобный диапазон на примере измерений одной величины $x$ в моменты времени $t_i$.\n",
    "- Рассмотрим новый ряд $y = \\{y_i, i=1,...,n\\}$, который получается их набора $x$ по формуле\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y_i = \\frac{x_i - \\bar{x}}{S}.\n",
    "$$\n",
    "Здесь $\\bar{x}$ --- среднее значение чисел $x$, а $S$ --- среднеквадратичное отклонение, которые определяются формулами\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\bar{x} = \\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^n x_i,\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "S = \\sqrt{\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^{n} (x_i - \\bar{x})^2}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Среднее значение получившегося ряда чисел $y$ заведомо равно 0, а среднеквадратичное отклонение --- единице.\n",
    "\n",
    "- Отмасштабируем данные в отрезок $[0, 1]$. Для этого найдем минимальное и максимальное значения $x_{min}$ и $x_{max}$ в $x$ и применим следующее преобразование:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y_i = \\frac{x_i - x_{min}}{x_{max} - x_{min}}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "- Представим измерения $x=\\{x_i, i=1,...,n\\}$ в виде вектора и отнормируем его:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{x}{||x||}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Ваша задача реализовать нормализацию данных тремя этими способами сразу для таблицы таких измерений `X`. \n",
    "\n",
    " \n",
    "#### 2.1. Векторная реализации нормализации каждой строки двумерного массива\n",
    "\n",
    "##### 2.1.1. Вычисление mean и std\n",
    "a) Напишите функцию, которая принимает на вход матрицу и возвращает два массива:\n",
    "- mean --- массив средних значений каждого столбца (`mean[j]` --- среднее столбца исходного массива `X[:, j]`).\n",
    "- std --- массив среднеквадратичных отклонений каждого столбца (`std[j]` --- среднеквадратичное отклонение строки исходного массива `X[:, j]`).\n",
    "\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def mean_and_std(X):\n",
    "    n, m = X.shape\n",
    "    # здесь ваш код\n",
    "    return mean, std\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{tip}\n",
    "Обратите внимание на аргумент axis функции [np.sum](https://numpy.org/doc/stable/reference/generated/numpy.sum.html#numpy.sum).\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{warning}\n",
    "Ваша функция не должна содержать вызовов функций `np.mean` и `np.std`.\n",
    "```\n",
    "##### 2.1.2. Нормализация\n",
    "Дополнить предыдущий пример, реализовав функцию `process`, которая принимает на вход массив `X` и возвращает массив `Y`, у которого столбец `Y[:, j]` представляет из себя нормализацию столбца `X[:, j]`.\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def process(X):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "```{warning}\n",
    "Ваша функция может содержать вызов функции `stat2d` или вызывать библиотечные функции `np.mean` и `np.std`.\n",
    "```\n",
    "\n",
    "#### 2.2. Векторная реализация масштабирования каждой строки двумерного массива\n",
    "\n",
    "Реализуйте функцию `scale`, которая принимает на вход массив `X` и возвращает массив `Y`, такой, что каждый его столбец `Y[:, j]` представляет отмасштабированный столбец `X[:, j]` в отрезок $[0, 1]$.\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def scale(X):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{warning}\n",
    "Разрешается использовать функции `np.min` и `np.max`.\n",
    "```\n",
    "\n",
    "#### 2.3 Векторная реализация нормирования \n",
    "\n",
    "Реализуйте функции `normalize`, нормирующую все столбцы матрицы.\n",
    "```python\n",
    "def normalize(X):\n",
    "    ...\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Заполнение матриц\n",
    "\n",
    "\n",
    "### Крест\n",
    "\n",
    "Реализовать функцию, которая создать матрицу заданного размера $n$, элементы которой определяются следующим образом\n",
    "\n",
    "$$ \n",
    "\\begin{cases}\n",
    "a_{ij} = 1, \\quad m < i \\leq n - m \\text{ или } m < j \\leq n - m \\\\\n",
    "a_{ij} = 0, \\quad \\text{ иначе}.\n",
    "\\end{cases} \n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Размер матрицы определяется параметром `n`, размер нулевых квадратов по углам параметром `m`. При `n=6` и `m=2` матрица должна выглядеть следующим образом.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "\\begin{pmatrix}\n",
    "0 & 0 & 1 &  1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "1 & 1 & 1 &  1 & 1 & 1 \\\\\n",
    "1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 &  1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 &  1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}.\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def cross(n, m):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{note}\n",
    "Для удобства можно считать, что `m < n` и оба они четны. \n",
    "```\n",
    "\n",
    "### Квадрат\n",
    "\n",
    "Реализовать функцию, которая создаёт матрицу заданного размера $n$, элементы которой определяются следующим образом\n",
    "\n",
    "$$ \\begin{cases}\n",
    "a_{ij} = 1, \\quad m < i \\leq n - m \\text{ и } m < j \\leq n - m \\\\\n",
    "a_{ij} = 0, \\quad \\text{ иначе}\n",
    "\\end{cases} $$\n",
    "\n",
    "Размер матрицы определяется параметром `n`, размер маленького квадрата из единицы параметром `m`. При `n=6` и `m=2` матрица должна выглядеть следующим образом.\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\begin{equation}\n",
    "\\begin{pmatrix}\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\\n",
    "\\end{pmatrix}.\n",
    "\\end{equation}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def square(n, m):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{note}\n",
    "Для удобства можно считать, что `m < n` и оба они четны. \n",
    "```\n",
    "\n",
    "\n",
    "### Шахматная доска\n",
    "\n",
    "Реализовать функцию, которая создаёт матрицу заданного размера `n`, содержащую единицы и нули, расположенные в шахматном порядке.\n",
    "\n",
    "$$\\begin{pmatrix}\n",
    "1 & 0 & 1 & \\cdots & 1 & 0 \\\\\n",
    "0 & 1 & 0 & \\cdots & 0 & 1 \\\\\n",
    "1 & 0 & 1 & \\cdots & 1 & 0 \\\\\n",
    "\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots & \\vdots \\\\\n",
    "1 & 0 & 1 & \\cdots & 1 & 0 \\\\\n",
    "0 & 1 & 0 & \\cdots & 0 & 1 \n",
    "\\end{pmatrix}. $$\n",
    "\n",
    "```python\n",
    "def chess_board(n):\n",
    "    ...\n",
    "```\n",
    "\n",
    "```{note}\n",
    "Для удобства можно считать, что `n` четно.\n",
    "```\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.8.10"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}